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 Les nombres rationnels

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مُساهمةموضوع: Les nombres rationnels   Les nombres rationnels Icon_minitimeالثلاثاء 19 فبراير 2019 - 13:20

ensemble des nombres rationnels Q


1.1. Écriture décimale

Par définition, l’ensemble des nombres rationnels est

Q = § p j p 2 Z, q 2 N ª. q

On a noté N = N n f0g.

Par exemple : 25 ; 107 ; 36 = 12 .

Les nombres décimaux, c’est-à-dire les nombres de la forme 10an , avec a 2 Z et n 2 N, fournissent d’autres exemples :

1, 234 = 1234 10 3 =
1234
0, 00345 = 345 10 5 =
345
.








1000

100 000



Proposition 1.

Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale périodique ou finie.

Par exemple :








3
= 0, 6
1
= 0, 3333 . . .
1, 179 325
325
325 . . .











5

3









!
!
!

Nous n’allons pas donner la démonstration mais le sens direct ( =) ) repose sur la division euclidienne. Pour
la réciproque ((=) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons que x = 12, 34 2021 2021 . . .
! !
est un rationnel.

L’idée est d’abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence deux chiffres après la virgule, donc on multiplie par 100 :

100x = 1234, 2021
2021 . . .
(1)

!
!


Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d’une période, donc ici on multiplie encore par 10 000 pour décaler de 4 chiffres :

10 000 100x = 1234 2021, 2021 . . .
(2)

!


Les parties après la virgule des deux lignes (1) et (2) sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant (2)-(1) alors les parties décimales s’annulent :

10 000 100x 100x = 12 342 021 1234

donc 999 900x = 12 340 787 donc

x = 12 340 787 . 999 900

Et donc bien sûr x 2 Q.

p
2 n’est pas un nombre rationnel

Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, les irrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent

naturellement dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d’un carré de côté 1 est le nombre p

irrationnel 2 ; la circonférence d’un cercle de rayon 12 est qui est également un nombre irrationnel. Enfin e = exp(1) est aussi irrationnel.
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